Một Số Cách Chứng Minh Định Lí Pitago Phần 2

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên hai cạnh bên của nó. (Trong hình này bạn không phải vẽ hình vuông trên cạnh huyền).

2. Bạn hãy nối hai đỉnh của hai hình vuông để vẽ được một tam giác vuông thứ hai bằng với tam giác vuông ABC ban đầu.

3. Hãy vẽ một đoạn thẳng đi qua tâm của hình này, đó chính là đoạn thẳng đi qua C và nối hai điỉnh xa nhất của 2 hình vuông ( là đường nét đứt trên hình bên).

4. Hãy vẽ trung điểm D của đoạn này.

5. Quan sát hình chúng ta thấy rằng: đây chính là đoạn thẳng chia hình thành 2 phần đối xứng nhau . Chọn tất cả các đoạn thẳng và các điểm nằm ở một phía của đường thẳng này, và tạo một nút hoạt động Hide/Show để làm ẩn /hiện phần hình được đánh dấu này.

Đặt lại tên cho nút này là Hide Reflection.

6. Kích chuột vào nút Hide Reflection này và bạn sẽ thấy được một nửa hình của ban đầu, phần hình đối xứng với nó bị ẩn đi ( như hình bên dưới).

7. Đánh dấu điểm D làm điểm tâm và quay toàn bộ hình này 180 o quanh điểm D .

Như vậy chúng ta đã tạo ra một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích của đa giác ban dầu.

8. Chọn đánh dấu tất cả các đối tượng ( đoạn thẳng và điểm) của phần hình tạo được do xoay một nửa hình ban đầu và tạo1 nút hoạt động nữa. Đặt tên cho nút này là Hide Rotation (xem hình bên dưới).

9. Vẽ đoạn A’B, và đoạn B’A. Như vậy chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy tứ giác BA’B’A chính là hình vuông trên cạnh c

10. Tô màu cho diện tích của hình tứ giác BA’B’A và hai tam giác vuông liền kề nó.

11. Đánh dấu đoạn A’B, và đoạn B’A, và diện tích của 3 đa giác ( gồm 2 tam giác vuông và 1 hình tứ giác), và tạo thêm 1 nút hoạt động . Có tên là Hide c Squared.

Nhận xét: Từ các bước dựng hìnhnhư trên, chúng ta có thể hình dung được cách chứng minh định lý của Leonardo da Vinci:

+ Cách dựng hình ở bước 1 – 4 cho 1 đa giác có 2 nửa đối xứng nhau qua 1 dường thẳng. Đa giác này có diện tích bằng tổng diện tích của 2 hình vuông trên các cạnh bên a, b của tam giác vuông ABC và diện tích của 2 tam giác vuông( có độ dài 2 cạnh bên là a, b).

+ Khi xoay 1 nửa đa giác trên quanh điểm tâm D của đường phân cách 180 o  cho ta một đa giác mới có diện tích đúng bằng diện tích đa giác ba đầu.

+ Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích tứ giác BA’B’A = (a 2 + b 2 + 2ab) – 2ab = a 2 + b 2 (1)

+ Việc nối A với B’, B với A’ cho ta hình vuông BA’B’A. (Vì AB song song và bằng A’B’ ; A’B và AB’ cũng song song và bằng nhau ). Tứ giác BA’B’A chính là hình vuông có cạnh là c diện tích của hình vuông này là c 2 (2)

Tử (1) và (2) ta có được c 2 = a 2 + b 2 . Có nghĩa là định lý Pitago được chứng minh.

12. Hãy thử kích vào các nút Hide, sau đó lại kích lại vào chúng. Như vậy bạn sẽ thấy được sự biến đổi của các bước làm trên : từ 1 hình gồm 2 tam giác vuông và 2 hình vuông trên 2 cạnh bên biến đổi thành hình gồm 2 tam giác vuông và 1 hình vuông trên cạnh huyền của chúng. ( mà diện tích của toàn bộ hình không đổi). Đây chính là cách chứng minh định lý của daVinci.

Cách 4: Chứng minh của 1 tổng thống

James A. Garfield đã khám phá ra một cách chứng minh định lý Pitago vào năm 1876, một vài năm trước khi ông ta trở tổng thống Hoa Kỳ. Một điều thú vị là trong ngành toán học không chỉ có một người trở thành tổng thống. Trước Garfield là ông Abraham Lincoln, là một thành viên của tổ chức Euclid là một trong những tác giả của những cuốn sách có sức thuyết phục nhất. Ông vừa là một luật sư vừa là một nhà chính trị. Cách chứng minh của Garfield được minh họa với một hình tương dối đơn giản: là một hình thang.

1. Vẽ một tam giác vuông ABC và đặt tên các đỉnh như hình bên.

2. Đánh dấu điểm B làm tâm và quay cạnh c và điểm A theo B một góc 90 o .( sau bước này ta được hình bên)

3. Nối điểm A và A’ sau đó vẽ một đường thẳng đi qua A’ và song song với cạnh b.

4. Sử dụng công cụ Ray để kéo dài đoạn CB. Và vẽ điểm giao D cỉa của tia này với đường thẳng đi qua A’.

5. Làm ẩn đi tia và đường thẳng đi và thay vào đó là đoạn BD và DA’.

Như vậy ta có tứ giác ACDA’ là 1 hình thang vuông vì :

+ DA’ và CA song song( do cách dựng ở bước 3)

+ Góc ACB vuông( do ABC là tam giác vuông ban đầu) góc CDA’ vuông.

6. Tô màu đa giác theo 3 tam giác vuông bên trong nó.

7. Hãy đo độ dài cạnh a, b, c.Và bạn có thể sử dụng kết quả đo lường này để tính toán diện tích của 3 tam giác và tổng của chúng :

+ Đo độ dài các cạnh bằng cách : di chuột đến cạnh đó và kích chuột phải length

+ Đo diện tích tam giác :kích chuột phải lên tam giác đó chọn Area

+ Tính tổng các tam giác :chọn menu Measure  Calculate.

8. Sử dụng công thức tính diện tích của hình thanhg để tính diện tích hình ACDA’ chỉ dựa vào độ dài các cạnh.( dùng cái gì để đo chiều cao của hình thang vuông ?). Hãy vẽ miền trong đa giác của toàn bộ hình và xác nhận lại các tính toán của bạn đă làm là đúng.

– Trong cách chứng minh này từ cách dựng hình như trên , chúng ta tính được diện tích hình thang ACDA’ theo 2 cách :

Tính theo 3 tham số a, b, c ( dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình thang bằng tổng diện tích 3 tam giác vuông trong đó 2 tam giác vuông màu đỏ có diện tích bằng nhau do tính chất của phép quay) thì ta có :

Dt = 2*ab /2 + c*c /2 (1)

: tính theo 2 tham số a. b( dựa vào công thức tính diện tích hình thang):

Từ (1) và(2) ta có Dt =ab+ c2/2 = (a+b)2/2  c2 = a2 + b2. chính là điều phải chứng minh.

Cách 5: Chứng minh định lý Pitago của Perigal

– Có nhiều cách chứng minh định lý Pitagocó nguồn gốc từ cổ xưa, nhưng lại được chứng minh lại bởi những người không biết đến nguồn gốc cổ xưa của nó. Đây là một cách chứng minh mà được ‘ khám phá’ ra bởi nhà toán học Henry Perigal vào năm 1873, nhưng cách chứng minh này lại được biết đến là cách chứng minh của nhà toán học người A- rập Tâbit ibn Qorra.a cách đó hàng nghìn năm.

Dựng hình và kiểm tra

1. Vẽ một hình vuông CADE.

2. Vẽ một hình vuông nhỏ hơn sát ngay hình vuông CADE vừa vẽ sao cho 2 hình vuông này có chung một đỉnh( là A) và đỉnh thứ hai của hình vuông nhỏ nằm trên cạnh DA( đỉnh G)  hình vuông nhỏ tạo được là hình vuông AGFB. Đặt tên cho độ dài cạnh của 2 hình vuông này lần lượt là b, a .

( hình bên minh họa cho bước 1 – 2).

3. Đánh dấu đoạn AB như 1 vectơ và dịch chuyển điểm C theo vectơ này. Cách làm như sau :

4. Vẽ đoạn thẳng EC’ và C’F.

5. Tô màu cho miền trong các đa giác là tam giác ( tam giác ECC’, và tam giác C’FB).

Nhận xét: Chúng ta bắt đầu dựng hình với 2 hình vuông liền kề với nhau, và bên trong của hình này chúng ta dựng hai tam giác vuông :

+ Trong tam giác vuông ECC’ ta có cạnh EC là cạnh hình vuông lớn nên có độ dài là b ; cạnh CC’ là kết quả của việc dịch chuyển điểm C theo vectơ AB nên CC’ dài bằng đoạn AB có độ dài là a.

+ Trong tam giác C’FB ta có cạnh FB là cạnh của hình vuông nhỏ, nên có độ dài là a. Cạnh C’B có độ dài bằng b ( Vì đoạn CC’ dài bằng đoạn AB).

Gọi độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông này là c.

6. Sử dụng công cụ Translator để chuyển dịch tam giác ECC’ từ điểm C đến điểm G , và để chuyển tam giác C’BF từ điểm B tới điểm D.( Xem lại bài tạo công cụ Translator đã giới thiệu)  Việc dịch chuyển các tam giác không làm thay đổi kích thước của các tam giác đó.

7. Đánh dấu điểm E làm tâm và quay điểm C’ một góc 90 o để tạo thành hình vuông EC’FC”.

– Vì EC là cạnh của tam giác vuông ECC’ nên hình vuông EC’FC” có diện tích là c 2.

Vì tam giác vuông ECC’ được di chuyển thành tam giác C”GF :  góc ECC’ = góc C”GF( = 90 o ).

 Diện tích tam giác ECC”= diện tích tam giác C”GB.

Tương tự ta có : Diện tích tam giác C’BF = diện tích tam giác EDC”.

Vậy ta có diện tích của tứ giác EC’FC” băng tổng diện hai hình vuông có cạnh b, a ban đầu. Nên diện tích EC’FC” = a 2 + b 2. Đồng thời vì EC’FC” cũng là hình vuông có độ dài cạnh bằng độ dài cạnh huyền cuả tam giác vuông có các cạnh bên là b, a( dựng hình bước 7). Nên diện tích của hình vuông EC’FC”= c 2 . Hay trong 1 tam giác vuông có c 2= a 2 + b 2 ( c là cạnh huyền, a,b là 2 cạnh bên).

Vậy có nghĩa là ta đã chứng minh được định lý Pitago.

(Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)

Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, H là hình chiếu của A lên BC, khi đó:

Cạnh góc vuông: AB, AC

Cạnh huyền: BC

Đường cao: AH

  • BH là hình chiếu của AB lên cạnh huyền BC.
  • CH là hình chiếu của AC lên cạnh huyền BC.

Áp dụng định lý Pytago cho 3 tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

(Tương tự với góc C)

Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau ( góc B + C = 90 độ)

Các công thức lượng giác mở rộng cho tam giác vuông:

Bạn có thể xem tất cả các CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:

Ví dụ giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam ABC vuông tại A có AB = a. Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AC và BC.

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Biết BC = 25cm, AB = 20cm.

  • a. Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH.
  • b. Kẻ từ H đường thẳng (d) song song với AB, đường thẳng (d) cắt cạnh AC tại điểm N. Tính độ dài các đoạn thẳng HN, AN và CN.

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD = 6cm, CD = 8cm. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F. Tính độ dài các đoạn thẳng DE, AE, CE, AF, BF.

Các cách để chứng minh một tam giác là tam giác vuông

  1. Chỉ ra tam giác có một góc vuông hay tam giác có tổng 2 góc bất kỳ bằng 90 độ.
  2. Chỉ ra tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức là: BC² = AB² + AC² thì tam giác vuông tại A.
  3. Chỉ ra một trung tuyến AM = BC /2. Thì tam giác đó vuông tại A.

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông – tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, BC = 13 cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm, AB = 3 cm. AH là đường cao. Tính BC, BH, CH, AH.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết 3 AB = 2 AC.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 5 cm, CH=10 cm. Tính BC, AH, AB và AC.

Bài 5. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 10 cm, đáy nhỏ CD = 6 cm và góc A là 60 độ

Bài 6. Cho đoạn thẳng AB=2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox vuông góc với AB. Trên Ox, lấy điểm D sao cho OD = 2 a/2. Từ B kẻ BC vuông góc với đường thẳng AD.

  • a) Tính AD, AC và BC theo a.
  • b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC= góc ANB=90 độ. Chứng minh: AM = AN

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết 3 AB = 2 AC, và AH = 10 cm. Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 9. Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết AB = 8 cm, OA = 5 cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Ngoài các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, bạn đọc có thể tham khảo nhiều kiến thức toán học khác. Mời bạn đọc cùng tìm hiểu!

Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!

Tìm Cạnh Huyền Của Tam Giác Vuông Hay Chứng Minh Định Lí Pitago Bằng Hình Học.

Tìm cạnh huyền của tam giác vuông (Chứng minh định lí Pitago bằng hình học)

Như ta đã biết ở các lớp trên muốn tìm cạnh huyền của một tam giác vuông ta áp dụng định lí Pitago. Nhưng đối với học sinh tiểu học không thể áp dụng định li Pitago vào tìm cạnh huyền được.

Ví dụ : Tìm cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 3m và 4m.

Giải

Giả sử ta có 4 hình tam giác vuông như nhau và có hai cạnh góc vuông là 3m và 4m. Ta ghép 4 hình tam giác đó lại thành một hình như sau :

Từ hình đã dựng ta có hình vuông ABCD có cạnh bằng a và bằng cạnh huyền của tam giác đã cho. Hình vuông MNPQ có cạnh bằng hiệu của hai cạnh góc vuông của tam giác đã cho và bằng 4 – 3 = 1m. Diện tích hình vuông ABCD sẽ bằng 4 lần diện tích tam giác đã cho cộng với diện tích hình vuông MNPQ.

Vậy diện tích hình vuông ABCD bằng:

4 x (4 x 3 : 2) + 1 x 1 = 25(m2)

Cạnh của hình vuông ABCD bằng cạnh huyền tam giác đã cho và bằng 5m5 x 5 = 25

Đáp số : 5m

Đến đây định lí pitago được chứng minh… 5= 4+ 3. Và áp dụng cách này để tìm cạnh huyền của một tam giác vuông.

Nguyễn Hồng Hà

Nguyễn Hồng Hà @ 07:03 23/12/2012

Số lượt xem: 648

Giải Toán Lớp 7 Bài 7: Định Lý Pytago Đầy Đủ Nhất

Tham khảo các bài học trước đó: Giải Toán Lớp 7 Bài 12: Số thực đầy đủ nhất Giải Toán Lớp 7 Bài 2: Hai tam giác bằng nhau đầy đủ nhất

1. Bài 7: Định lý Pytago

1.1. Bài tập ứng dụng

Hướng dẫn giải câu hỏi ứng dụng kèm bài tập Toán lớp 7 trang 129, 130, 131 bao gồm lời giải chi tiết, phương pháp giải mỗi bài rõ ràng giúp các em hiểu sâu lời giải, các kiến thức lý thuyết ứng dụng. Dễ dàng giải quyết các bài tập tương tự.

Câu hỏi 1 trang 129:

Vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm và 4cm. Đo độ dài cạnh huyền

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đo được cạnh huyền 5cm

Câu hỏi 2 trang 129:

Lấy giấy trắng cắt tám tam giác vuông bằng nhau. Trong mỗi tam giác vuông đó, ta gọi độ dài các cạnh góc vuông là a và b, gọi độ dài cạnh huyền là c. Cắt hai tấm bìa hình vuông có cạnh bằng a+b

a) Đặt bốn tam giác vuông lên tấm bìa hình vuông như hình 121. Phần bìa không bị che lấp là một hình vuông có cạnh bằng c, tính diện tích phần bìa đó theo c

b) Đặt bốn tam giác vuông còn lại lên tấm bìa hình vuông thứ hai như hình 122. Phần bìa không bị che lấp gồm hai hình vuông có cạnh là a và b; tính diện tích phần bìa đó theo a và b

c) từ đó rút ra nhận xét gì về quan hệ giữa c 2 và a 2 + b 2 ?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông cạnh a là S=a 2

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) diện tích phần bìa hình vuông cạnh c là c 2

b) diện tích hai phần bìa hình vuông lần lượt là a 2 và b 2

Câu hỏi 3 trang 130:

Tìm độ dài x trên các hình 124, 125

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng định lí Py – ta – go

Tam giác ABC vuông tại B

⇒ x = 6 (cm)

Tam giác DEF vuông tại D

⇒ x = √2 (cm)

Câu hỏi 4 trang 130:

Vẽ tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm. Hãy dùng thước đo góc để xác định số đo của góc BAC

Hướng dẫn giải chi tiết:

Số đo góc BAC là 90 o

Bài 53 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):

Tìm độ dài x trên hình 127.

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Hình a

Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

Hình b

⇒ x = √5

Hình c

⇒ x = 20

Hình d

Theo định lí Pi-ta-go ta có:

⇒ x = 4

Kiến thức áp dụng

Định lý Pytago: ” Trong tam giác vuông, tổng bình phương cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền”.

Bài 54 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):

Đoạn lên dốc từ C đến A dài 8,5m, độ dài CB bằng 7,5m. Tính chiều cao AB.

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông ABC vuông tại B ta có:

= 72,25 – 56,25

=16

⇒ AB = 4 (m)

Kiến thức áp dụng

Định lý Pytago: ” Trong tam giác vuông, tổng bình phương cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền”.

Bài 55 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):

Tính chiều cao của bức tường, biết rằng chiều dài của thang là 4m và chân thang cách tường 1m.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go để tính chiều cao của bức tường.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Kí hiệu như hình vẽ:

Vì mặt đất vuông góc với chân tường nên góc C = 90º.

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔABC ta có:

⇒ AC = √15 ≈ 3,87(m) hay chiều cao của bức tường là 3,87m.

Kiến thức áp dụng

Định lý Pytago: ” Trong tam giác vuông, tổng bình phương cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền”.

1.2. Lý thuyết trọng tâm

1. Định lý Pytago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

2. Định lý Pytago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

2. File tải hướng dẫn giải Toán lớp 7 Bài 7: Định lý Pytago:

Hy vọng tài liệu sẽ hữu ích cho các em học sinh và quý thầy cô giáo tham khảo và đối chiếu đáp án chính xác.

Bài Giảng Môn Hình Học Lớp 7

Đ Đ Giúp học sinh nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông, biết vận dụng định lý Pitago để cm cạnh huyền, cạnh góc vuông của hai tam giác vuông.

Đ Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài của hai cạnh kia.

Tiết 38: Định lý pitago A. Mục tiêu Giúp học sinh nắm được định lý Pitago về quan hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông, biết vận dụng định lý Pitago để cm cạnh huyền, cạnh góc vuông của hai tam giác vuông. Biết vận dụng định lý Pitago để tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài của hai cạnh kia. Biết cm hai tam giác vuông bằng nahu theo trường hợp cạnh huyền, cạnh góc vuông. Biết vận dụng các kiến thức học trong bài vào các bài toán thực tế. B. Chuẩn bị : Giáo viên : Thước thẳng, êke, com pa. Học sinh : Thước thẳng, Eke, com pa, bút chì. c. Tiến trình của bài. Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của học sinh Hoạt động 1 Định lý Pitago Yêu cầu học sinh làm ?1 vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3cm, 4cm. Đo độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó? Yêu cầu học sinh làm ?2 : Tính dt hình vuông 1 (có cạnh là c) Tính dt hình vuông 2 (có cạnh là a) Tính dt hình vuông 3 (có cạnh là b) So sánh dt hình vuông 1 với dt hình vuông 2 và 3. Rút ra nhận xét gì về quan hệ giữa c2 với a2 + b2 , Nhận xét về quan hệ giữa ba cạnh của tg vuông. Giới thiệu định lý Pitago Yêu cầu học sinh làm ?3 Cả lớp đo rồi trả lời . Định lý Pitago B ?1 (SGK/129) DABC vuông tại A 3 AB= 3cm; AC = 4cm Đo BC = 5cm 4 C A ?2 (SGK/129) c a c2 = a2 + b2 b Định lý Pitago: (SGK/130) DABC vuông tại A BC2 = AB2 + AC2 B Lưu ý : Gọi bình phương độ dài đoạn thẳng là bình phương của đoạn thẳng đó. áp dụng ? 3 (?130 – SGK) 8 a) hình 124 C Vì DABC vuông tại B 10 A AC2 = AB2 + BC2 (đl pitago) 100 = x2 + 82 ị x2 = 36 ị x = 6 E b) hình 125 x Vì DDEF vuông tại D 1 EF2 = ED2 + DF2 (đl pitago) x2 = 12 + 12 =2 1 F D ị x = Trả lời : dt hv1 = c2 dt hv1 = a2 dt hv1 = b2 c2 = a2 + b2 Cả lớp làm ?3 Nêu kết quả. Hoạt động 2 Định lý Pitago đảo Yêu cầu học sinh làm ?4 130/SGK) Rút ra định lý Cả lớp làm ?4 Nêu kết quả. Phát biểu định lý Pitago đảo 2. Định lý Pitago đảo ?4 DABC có AB = 3cm AC = 4cm; BC = 5cm Đo góc BAC = 900 C B 3 A 4 Định lý Pitago đảo : SGK/130 DABC, BC2 = AB2 + AC2 ị BAC = 900 Hoạt động 3 Luyện tập Bài 53 (Tr 131 – SGK) Hai học sinh lên bảng làm bài, cả lớp làm vào vở. E x 3Luyện tập 5 Bài 53 (Tr 131 – SGK) F D 12 a) Vì DDEF vuông tại D EF2 = ED2 + DF2 (đl Pitago) x2 = 122 + 52 x = 144 + 25 =169 x = 13 d) x2 = + 32 = 7 + 9 = 16 x = 4 Hoạt động 6: H ướng dẫn về nhà Học kĩ định lý Pitago, định lý đảo, đọc mục có thể em chưa biết. Bài tập 53 đến 56 (Tr 131 – SGK).

Nội Dung Chính 1. Mở Đầu 2. Định Luật Coulomb 3. Điện Trường 4. Điện Thông, Định Lý Ostrogradski

3 Ở ĐẦU 1. Điện là một thuộc tính nội tại của vật chất (giống như khối lượng của vật). Có hai loại điện tích là điện tích dương (+) và âm (-). v Quy ước Điện tích của thuỷ tinh khi cọ xát vào lụa là điện tích dương (+) Điện tích của thanh nhựa sẫm màu khi cọ xát vào vải khô là điện tích âm (-) 3. Điện tích có giá tị nhỏ nhất bằng C gọi là điện tích nguyên tố (1e = C) 4. Điện tích của một vật tích điện luôn có giá tị gián đoạn và bằng bội số của điện tích nguyên tố Q = ne, n là một số nguyên. 5. Đơn vị của điện tích là coulomb (C)

4 ĐỊNH LUẬT COULOB 1. Phát biểu định luật v Lực tương tác giữa hai điện tích điểm 1 và có độ lớn tỉ lệ thuận với tích độ lớn của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Biểu thức v Tong chân không: 1 v Tong môi tường vật chất: F k k F 1 k Nm Nm /C /C ε = 8, (F/m) là hằng số điện thẩm của chân không ε là hằng số điện môi tỷ đối của môi tường

5 ĐỊNH LUẬT COULOB 1. Phương chiều của lực tác dụng v Phương: nằm tên đường thẳng nối hai điện tích (lực xuyên tâm) v Chiều: các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, khác dấu thì hút nhau F 1 F 1 F F 1 1 F1 F1 k 3 F 1 F 1 1

6 ĐỊNH LUẬT COULOB 1. Ví dụ: Khoảng cách giữa electon và poton tong Nguyên tử hydo là m. Xác định độ lớn của lực tương tác tĩnhđiện giữa chúng.. Bài giải F F 1 5, , , 1 m Nm C 8 N F k 19 C ,6 1 C 1,6 1 C 11 5,3 1 m

7 ĐIỆN TRƯỜNG 1. Khái niệm điện tường v Điện tường là một dạng vật chất đặc biện tồn tại xung uanhđiện tích và là nhân tố tung gian để tuyền tương tác giữa cácđiện tích.. Véc tơ cường độ điện tường v Để đặc tưng cho điện tường về mặt lực tác dụng người ta sử dụng đại lượng Cường độ điện tường. v Nếu đặt điện tích tong điện tường của điện tích thì sẽ chịu tác dụng của một lực k v Định nghĩa và biểu thức E F 3 v Đơn vị của cường độ điện tường (N/C) hay (V/m) F

8 ĐIỆN TRƯƠNG 1. Điện tường do một điện tích điểm gây a F F F k E 3

9 ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LÝ OTROGRADKY-GAU 1. Đường sức điện tường v Phương thức mô tả điện tường bằng hình ảnh v Đường sức điện tường là những đường cong vẽ tong điện tường sao cho tiếp tuyến của nó tùng với phương của véc tơ cường độ điện tường tại điểm đó.. Tính chất (cách vẽ đường sức điện tường) v Đường sức điện tường là những đường cong hở v Chiều của đướng sức điện tường là chiều của điện tường (xuất phát từ bề mặt điện tích dương đi a vô cùng hoặc kết thúc tên bề mặt điện tích âm) v ật độ đường sức điện tường tại một điểm bằng tị số của cường độ điện tường tại điểm đó. v Tập hợp tất cả các đường sức điện tường gọi là điện phổ

10 ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LÝ OTROGRADKY-GAU 1. Điện phổ

11 ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LÝ OTROGRADKY-GAU 1. Điện thông (thông lượng điện tường) v ặt phẳng có diện tích đặt tong điện tường đều có cường độ điện tường E. v Thông lượng điện tường: e E v n là véc tơ diện tích, hướng theo phương pháp tuyến của và có độ lớn bằng chính diện tích của mặt v Véc tơ pháp tuyến luôn hướng a phía ngoài của mặt

12 ĐIỆN THÔNG, ĐỊNH LÝ OTROGRADKY-GAU 1. Điện thông (thông lượng điện tường) v Diện tích có hình dạng bất kỳ e d e v Ý nghĩa: Thông lượng điện tường là đại lượng có tị số cân bằng với số đường sức điện tường xuyên ua diện tích đó E d

16 ĐIỆN THẾ 1. Tính chất thế của tường tĩnh điện v Giả sử điện tích di chuyển từ đến N tong điện tường của điện tích v Công của lực điện tường bằng v v v A N da k k A N N F N da ds d N F F ds cos da vì N ds ds cos ds cos d k d k k N

19 ĐIỆN THẾ 1. ặt đẳng thế v ặt đẳng thế là uỹ tích của những điểm có cùng thế năng v Ví dụ Hạt điện tích dương Lưỡng cực điện Hệ hai điện tích dương

20 ĐIỆN THẾ 1. Tính chất của mặt đẳng thế v TC1: Công của lực tĩnh điện tong sự di chuyển một điện tích bất kỳ tên mặt đẳng thế bằng không V A N V N v TC: Véc tơ cường độ điện tường tại mọi điểm tên mặt đẳng thế luôn vuông góc với mặt đẳng thế tại điểm đó A N E ds N F V ds A V N E ds N F ds E ds

Giáo Án Hình Học 7 Tiết 37: Định Lí Pitago

1.Về kiến thức.

– HS nắm được định lí Pitago về quan hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông và định lí Pitago đảo.

– Biết vận dụng định lí Pitago để tính độ dài một cạnh của tam giác vuông. Biết vận dụng định lí đảo để nhận biết một tam vuông.

– Biết vận dụng kiến thức vào bài học thực tế

3.Về thái độ. – Học sinh yêu thích học hình

II.Chuẩn bị của GV&HS.

1.Chuẩn bị của GV. – Giáo án + Tài liệu tham khảo + Đồ dùng dạy học

2.Chuẩn bị của HS. – Học bài cũ, đọc trước bài mới, đồ dùng học hình.

Ngày soạn: 17.01.2011 Ngày giảng: 20.01.2011 Lớp 7A4 ,A2, A1 Ngày giảng: 21.01.2011 Lớp 7A3 Tiết 37: ĐỊNH LÍ PITAGO I.Mục tiêu. 1.Về kiến thức. - HS nắm được định lí Pitago về quan hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông và định lí Pitago đảo. 2.Về kĩ năng. - Biết vận dụng định lí Pitago để tính độ dài một cạnh của tam giác vuông. Biết vận dụng định lí đảo để nhận biết một tam vuông. - Biết vận dụng kiến thức vào bài học thực tế 3.Về thái độ. - Học sinh yêu thích học hình II.Chuẩn bị của GV&HS. 1.Chuẩn bị của GV. - Giáo án + Tài liệu tham khảo + Đồ dùng dạy học 2.Chuẩn bị của HS. - Học bài cũ, đọc trước bài mới, đồ dùng học hình. III.Tiến trình bài dạy. 1.Kiểm tra bài cũ.(không kiểm tra ) * Đặt vấn đề( 2') Giới thiệu về nhà Toán học Pitago: Pitago sinh trưởng trong một gia đình quý tộc ở Đảo Xa - mốt, một đảo giầu có ở ven biển Ê - giê thuộc Địa Trung Hải. Ông sống trong khoảng năm 570 đến 500 năm trước Công nguyên. Từ nhỏ Pitago đã nổi tiếng về trí thông minh khác thường. Ông đã đi nhiều nơi trên thế giới và trở nên uyên bác trong hầu hết các lĩnh vực quan trong: Số học, hình học, thiên văn, địa lí, âm nhạc, y học, triết học. Một trong những công trình nổi tiếng của ông là hệ thức giữa độ dài các cạnh của một tam giác vuông, đó chính là định lí Pitago mà hôm nay chúng ta học. 2.Dạy nội dung bài mới. Hoạt động của thÇy - trò Học sinh ghi * Hoạt động 1: Định lí Pitago (20') 1. Định lí Pitago: GV Yêu cầu học sinh làm ? 1 Vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 3cm và 4cm đo độ dài cạnh huyền. ? 1 (SGK - 129) Giải HS Cả lớp vẽ hình vào vở - Một em lên bảng vẽ Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông là 5 cm TB? Hãy cho biết độ dài cạnh huyền của tam giác vuông đó là? HS Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông là 5cm GV Ta có: 32 + 42 = 9 + 16 = 25 52 = 25 32 + 42 = 52 K? Như vậy qua đo đạc ta phát hiện ra điều gì về mối liên hệ giữa ba cạnh của tam giác vuông? HS Trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông GV Đưa bảng phụ có dán sẵn 2 tấm bìa mầu hình vuông có cạnh bằng (a + b) ? 2 (SGK - 129) HS Tự đọc ? 2 - quan sát H.121, H. 122 Gv Gọi 4 em lên bảng: Hai em thực hiện như H.121 Hai em thực hiện như H.122 GV Ở H.121 phần bìa không bị chia khuất là một hình vuông có cạnh bằng c TB? Hãy tính diện tích phần bìa đó theo c HS Diện tích phần bìa đó bằng c2 GV ở H.122 phần bìa không bị chia khuất gồm 2 hình vuông có cạnh là a và b K? Hãy tính diện tích phần bìa đó theo a và b HS Diện tích phần bìa đó bằng a2 + b2 K? Em có nhận xét gì về diện tích phần bìa không bị che lấp ở hai hình, giải thích? HS Diện tích phần bìa không bị che lấp ở 2 hình bằng nhau vì diện tích phần bìa không bị che lấp ở 2 hình đều bằng diện tích hình vuông trừ đi diện tích của bốn tam giác vuông. K? Từ đó rút ra nhận xét gì về quan hệ giữa c2 và a2 + b2 HS c2 = a2+b2 ? Hệ thức c2 = a2+b2 nói lên điều gì? HS Hệ thức này cho biết trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng các bình phương (độ dài) 2 cạnh góc vuông. GV Đó chính là nội dung định lí Pitago mà sau này sẽ được chứng minh ABC, BC2 = AB2 +AC2 HS Đọc nội dung định lí Pitago GV Vẽ hình và tóm tắt định lí Pitago theo hình vẽ GV Lưu ý: Để cho gọn ta gọi bình phương độ dài của một đoạn thẳng là bình phương của đoạn thẳng đó. GV Yêu cầu học sinh làm ? 3 ? 3 (SGK - 130) Giải a. r vuông ABC có AB2 + BC2 = AC2 (định lí Pitago) AB2 + 82 = 102 AB2 = 102 - 82 AB2 = 36 = 62 AB =6 x = 6 b. DEF vuông tại D. Ta có: EF2 = DE2 + DF2 EF2 = 12 + 12 = 2 EF = Hay x = * Hoạt động 2: Định lí Pitago đảo (10') 2. Định lí Pitago đảo. GV Yêu cầu học sinh làm ? 4 ? 4 (SGK - 130) HS Lên bảng vẽ - Cả lớp vẽ vào vở Giải TB? Hãy dùng thước đo góc xác định số đo góc BAC? HS GV ABC có AB2 + BC2 = AC2 (vì 32+ 42=52 = 25) bằng đo đạc ta thấy ABC là tam giác vuông. Người ta đã chứng minh được định lí Pitago đảo: "Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông". ABC có AB2 + BC2 = AC2 * Định lí Pitago đảo: (SGK - 130) ABC có AB2 + BC2 = AC2 3.Củng cố - Luyện tập. (12') 3. Luyện tập: TB? Phát biểu định lí Pitago? TB? Phát biểu định lí Pitago đảo? K? So sánh 2 định lí này? HS Giả thiết của định lí này là kết luận của định lí kia, kết luận của định lí này là giả thiết của định lí kia. Bài 53 (SGK- 131) Giải GV Cho học sinh hoạt động nhóm làm bài 53 (SGK - 131) Tổ 1: Làm câu a Tổ 2: Làm câu b Tổ 3: Làm câu c a) ABC vuông tại A có: BC2 = AB2 + AC2 x2 = 52 + 122 x2 = 25 + 144 x2 = 169 x = 13 GV Treo bảng phụ nội dung bài 53 (SGK - 131) b) ABC vuông tại B có: AC2 = AB2 + BC2 x2 = 12 + 22 x2 = 5 x = HS Đại diện hai nhóm lên trình bày c) ABC vuông tại C: AC2 = AB2 + BC2 292 = 212 + x2 x2 = 292 - 212 x2 = 400 x = 20 HS Tương tự một em đứng tại chỗ làm ý d. d) DEF vuông tại B: EF2 = DE2 + DF2 x2 = ()2 + 32 x2 = 7 + 9 x2 = 16 x = 4 4.Hướng dẫn HS tự học ở nhà. (1') - Học thuộc định lí Pitago (thuận, đảo) - Bài tập về nhà: 54, 55, 56, 57, 58 (SGK - 132, 133) - Bài tập: 82, 83, 86 (SBT - 108) - Đọc mục: "Có thể em chưa biết" (SGK - 132) - Giờ sau: Luyện tập.

Sáng Kiến Kinh Nghiệm Hướng Dẫn Học Sinh Lớp 7 Vận Dụng Định Lí Pytago

Khi dạy định lí tôi chú trọng hướng dẫn các em những vấn đề trọng tâm như sau:

1) Dạy kĩ định lí bằng phương pháp thực hành:

a) Yêu cầu học sinh vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm, 4cm, sau đó đo độ dài cạnh huyền.

b) Thực hành:

– Lấy giấy trắng cắt tám tam giác vuông bằng nhau.Trong mỗi tam giác vuông đó, ta gọi độ dài các cạnh góc vuông là a, b, gọi độ dài cạnh huyền là c. Cắt hai tấm bìa hình vuông có cạnh bằng a + b .

– Đặt bốn tam giác vuông lên tấm bìa hình vuông như hình 1. Phần bìa không bị che lấp là một hình vuông có cạnh bằng c, yêu cầu học sinh tính diện tích phần bìa đó theo c ?

Tài liệu tham khảo

Phần I. Mở đầu

Lí do chọn đề tài

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu

Phần II. Nội dung chính

Dạy kĩ định lí bằng phương pháp thực hành

2) Khắc sâu định lí bằng kí hiệu toán học

3) Khắc sâu định lí Pytago thông qua các bài tập

4) Khắc sâu định lí Pytago đảo thông qua các bài tập

5) Giải bài toán có nội dung định lí Pytago bằng phương pháp phân tích đi lên.

Phần III. Kết quả

Phần IV. Kết luận, khuyến nghị

Trang 2

Trang 3

Trang 3

Trang 3

Trang 4

Trang 4

Trang 4

Trang 4

Trang 5

Trang 8

Trang 9

Trang 13

Trang 14

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Sách giáo khoa, sách bài tập Toán 7 tập 1 của Nhà xuất bản Giáo dục.

Sách giáo viên Toán 7 tập 1 của Nhà xuất bản Giáo dục.

Ôn tập và kiểm tra Toán 7 của Nhà xuất bản Đà Nẵng.

Bồi dưỡng Toán lớp 7 (tập 1) Nhà xuất bản Giáo dục.

Toán nâng cao và các chuyên đề hình học 7. Nhà xuất bản giáo dục.

PHẦN 1. MỞ ĐẦU

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Là một giáo viên đứng lớp ai cũng mong muốn những kiến thức mà mình truyền đạt, được học sinh tiếp thu và vận dụng một cách nhanh nhất vào bài tập. Để làm được việc này tưởng chừng đơn giản nhưng lại rất khó khăn vì công việc đó không những đòi hỏi giáo viên phải có kiến thức, phải có kinh nghiệm mà còn phải biết sáng tạo tìm ra phương pháp thích hợp cho từng bài dạy.

Từ khi ra trường, tôi không ngừng học hỏi kinh nghiệm và tìm tòi những phương pháp thích hợp nhất cho mỗi bài học, mỗi phần của bài học dù là kiến thức nhỏ nhất. Cũng như các giáo viên khác trong quá trình giảng dạy, khó khăn đã nảy sinh và một trong các vấn đề làm cho tôi suy nghĩ đó là khi dạy phần định lí Pytago.

Như chúng ta đã biết ở môn hình học lớp 7, một trong những cách quan trọng để chứng minh một tam giác là tam giác vuông, đi tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông, chứng minh được trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông của hai tam giác vuông,… là việc ứng dụng định lí Pytago.

Thế nhưng ở chương trình lớp 7, khi tiếp xúc với định lí Pytago, học sinh còn nhiều bỡ ngỡ, thường lúng túng trong việc nhận ra cạnh huyền, cạnh góc vuông, hay việc áp dụng định lí Pytago đảo để chứng minh một tam giác có vuông hay không,…

II. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU.

Đối tượng nghiên cứu:

Định lí Pytago.

Phạm vi nghiên cứu:

Học sinh lớp 7A, 7B trường THPT Ngô Mây.

III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI.

Tổng hợp kinh nghiệm từ việc giảng dạy, từ năm học 2009-2010 đến nay.

Phân tích tổng hợp các kiến thức và kĩ năng.

Phần 2. NỘI DUNG CHÍNH

Khi dạy định lí tôi chú trọng hướng dẫn các em những vấn đề trọng tâm như sau:

1) Dạy kĩ định lí bằng phương pháp thực hành:

a) Yêu cầu học sinh vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm, 4cm, sau đó đo độ dài cạnh huyền.

b) Thực hành:

– Lấy giấy trắng cắt tám tam giác vuông bằng nhau.Trong mỗi tam giác vuông đó, ta gọi độ dài các cạnh góc vuông là a, b, gọi độ dài cạnh huyền là c. Cắt hai tấm bìa hình vuông có cạnh bằng a + b .

– Đặt bốn tam giác vuông lên tấm bìa hình vuông như hình 1. Phần bìa không bị che lấp là một hình vuông có cạnh bằng c, yêu cầu học sinh tính diện tích phần bìa đó theo c ?

+ Phần bìa không bị các tam giác vuông che lấp là một hình vuông có cạnh là c, do đó diện tích phần bìa không bị che lấp này là : c2.

– Đặt bốn tam giác vuông còn lại lên tấm bìa hình vuông thứ hai như hình vẽ 2. Phần bìa không bị che lấp gồm hai hình vuông có cạnh là a và b. Yêu cầu học sinh tính diện tích phần bìa đó theo a và b ?

+ Diện tích phần bìa không bị che lấp là : a2 + b2.

– Yêu cầu học sinh rút ra nhận xét về quan hệ giữa c2 và a2 + b2.

+ Học sinh rút ra nhận xét : c2 = a2 + b2.

( Vì chúng đều là phần không bị che lấp của hai tấm bìa hình vuông bằng nhau).

2) Khắc sâu định lí bằng kí hiệu toán học:

* Định lí :

“Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông”

ABC vuông tại A BC2 = AB2 + AC2.

Để khắc sâu định lí bằng kí hiệu toán học, trước hết cho các em biết xác định : cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, nếu cạnh huyền là AC thì góc đối diện sẽ là góc B, nếu cạnh huyền là BC thì góc đối diện là góc A, nếu cạnh huyền là AB thì góc đối diện là góc C. Hiểu được như vậy thì học sinh có thể tóm tắt định lí một cách nhanh chóng và chính xác.

+ ABC vuông tại A BC2 = AB2 + AC2.

+ ABC vuông tại B AC2 = AB2 + BC2.

+ ABC vuông tại C AB2 = BC2 + AC2.

3) Khắc sâu định lí Pytago thông qua các bài tập:

Bài 1:

Tìm độ dài x trên các hình vẽ sau:

Phân tích:

Ở hình vẽ a và b, x đóng vai trò là cạnh huyền.

Ở hình vẽ c, x đóng vai trò là một cạnh góc vuông.

Ta chỉ cần áp dụng định lí Pytago để tìm x.

Giải:

Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông trên ta có:

Bài 2:

Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính chu vi tam giác ABC biết AC = 20cm, AH = 12cm, BH = 5cm.

Phân tích:

Chu vi của tam giác ABC = AB + AC + BC

AB2 = AH2 + HB2 ; BH + HC

AC2 = HC2 + AH2

Giải: AHB vuông tại H. Theo định lý Pytago, ta có

AB2 = AH2 + HB2 = 122 + 52

= 144 + 25 = 169

Do đó AB = 13 cm

AHC vuông tại H. Theo định lý Pytago ta có

HC2 = AC2 – AH2 = 202 – 122

= 400 – 144 = 256

Do đó HC = 16 cm

Chu vi của tam giác ABC là

AB + AC + BC = 13 + 20 + 21 = 54 cm

Bài 3:

Tính độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng:

a) 2cm b) cm.

Phân tích:

Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau. Do đó nếu gọi một cạnh góc vuông là a (cm), thì độ dài cạnh góc vuông còn lại cũng bằng a (cm).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông đó ta sẽ tính được độ dài cạnh góc vuông.

Giải:

Áp dụng định lí Pytago ta có:

a2 + a2 = 22

2a2 = 4.

a2 = 2.

a = cm.

Áp dụng định lí Pytago ta có:

a2 + a2 = 2

2a2 = 2

a2 = 1

a = 1 cm.

Bài 4:

Tính đường chéo của một mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 10dm, chiều rộng 5dm.

Phân tích:

Đường chéo của mặt bàn hình chữ nhật chính là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là: 5dm, 10dm.

Áp dụng định lí Pytago ta có:

11,2 dm

Bài 5:

Cho tam giác ABC vuông ở A. Một đường thẳng cắt hai cạnh AB và AC ở D và E. Chứng minh:

Phân tích:

Để chứng minh đẳng thức (*) ta có thể chứng minh đẳng thức (**) sau đó sử dụng quy tắc chuyển vế.

CD, CB, ED, EB lần lượt là cạnh huyền của các tam giác vuông: ADC, ABC, ADE, ABE.

Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông trên ta được 4 đẳng thức, sau đó cộng vế theo vế hai đẳng thức trong 4 đẳng thức trên sao cho kết quả thu được là một đẳng thức có một vế giống một vế của đẳng thức (**). Biến đổi vế còn lại rồi dùng quy tắc chuyển vế ta được điều phải chứng minh.

Giải:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ADC:

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABE:

Cộng vế theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được:

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông: ADE, ABC ta được:

Thay (4) vào (3) ta được: hay

4) Khắc sâu định lí Pytago đảo thông qua các bài tập

* Định lí :

“Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông”

* Các bài tập :

Bài 1:

Tam giác DEF có: DE = 3cm, EF = 4cm, DF = 5cm. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. vuông tại E

B. vuông tại F

C. vuông tại D

D. không phải là tam giác vuông.

Phân tích:

Vì trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất nên ta đi so sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh nhỏ hơn. Nếu chúng bằng nhau thì theo định lí Pytago đảo tam giác đó là tam giác vuông.

Cụ thể: 52 = 25

32 + 42 = 9 + 16 = 25

32 + 42 = 52

Vì cạnh huyền là DF nên tam giác DEF vuông tại đỉnh đối diện với cạnh huyền, đó là đỉnh E.

Đáp án: A. vuông tại E

Bài 2: Tam giác nào là tam giác vuông trong các tam giác có độ dài ba cạnh như sau:

a) 9cm, 15cm, 12cm

b) 5dm, 13dm, 12dm

c) 7m, 7m, 10m

Phân tích:

Tương tự như bài 1.

Đáp án: a) 9cm, 15cm, 12cm. Vì:

b) 5dm, 13dm, 12dm. Vì:

5) Giải bài toán có nội dung định lí Pytago bằng phương pháp phân tích đi lên.

Bài 1: Trong tam giác ABC cho biết AB = 10cm, BC = 17cm. Vẽ BD vuông góc với AC tại D và BD = 8cm. Tính độ dài cạnh AC.

Phân tích:

AC = AD + DC

BDA: ; BCD: BD2 + DC2 = BC2.

Giải:

Trong tam giác vuông BCD ta có:

BD2 + DC2 = BC2 (định lí Pytago)

Tương tự trong tam giác vuông BDA có:

Vậy AC = AD + DC = 6 + 15 = 21 (cm).

Bài 2:

Trên các cạnh BC và CD của hình vuông ABCD, lấy các điểm E và F sao cho : EC = 2EB và FC = FD. Chứng minh: .

Phân tích:

.

MEA = FEA

MA = AF ; ME = EF

MBA = FDA; MB + BE;

Giải:

Gọi độ dài cạnh hình vuông là a.

Trên tia đối của tia BC lấy một điểm M sao cho .

Trong tam giác ECF ta có:

Theo định lí Pytago:

Ta lại có:

Do đó: ME = EF (1)

MBA = FDA (c.g.c) nên MA = AF (2)

Từ (1) và (2): MEA = FEA (c.c.c).

Suy ra .

Bài 3:

Cho hình chữ nhật ABCD và một điểm M bất kì. Chứng minh:

MA2 + MC2 = MB2 + MD2.

Phân tích:

; QC = PB, DQ = PA

;

Qua M dựng PQ//BC.

Giải:

Qua M dựng PQ//BC.

Từ các tam giác vuông ta suy ra :

Do vậy :

Tương tự :

Nhưng QC = PB, DQ = PA nên

PHẦN 3. KẾT QUẢ

Bảng thống kê chất lượng học sinh khi chưa áp dụng sáng kiến:

Lớp

Xếp loại

TB trở lên

Giỏi

Khá

TB

Yếu

7A. 28 hs

0

4 (14,3%)

18 (64,3%)

6 (21,4%)

22 (78,6%)

7B. 26 hs

0

3 (11,5 %)

14 (53,8%)

9 (34,7 %)

17 (65,3 %)

Tổng: 54 hs

0

7 (13 %)

32 (59,2 %)

15 (27,8 %)

39 (72 %)

Bảng thống kê chất lượng học sinh khi đã áp dụng sáng kiến:

Lớp

Xếp loại

TB trở lên

Giỏi

Khá

TB

Yếu

7A. 28 hs

3 ( 10,7 %)

6 (21,4%)

19 (67,9 %)

0

28 (100%)

7B. 26 hs

1 (3,8 %)

5 (19,2 %)

18 (69,2 %)

2 (7,8 %)

24 ( 92,2 %)

Tổng: 54 hs

4 (7,4 %)

11 (20,4 %)

37 (68,5 %)

2 (3,7 %)

52 (96,3 %)

PHẦN 4. KẾT LUẬN, KHUYẾN NGHỊ

Kết luận.

Với lượng kiến thức lĩnh hội được ngày một tăng lên và khó thêm, học sinh sẽ gặp khó khăn hơn để ghi nhớ những kiến thức đồ sộ của tất cả các môn học trong đầu. Vì thế, rất cần các thầy cô truyền đạt kiến thức tới học sinh một cách dễ hiểu, dễ ghi nhớ và nhớ lâu. Từ đó tôi thấy mình cần phải học hỏi nhiều hơn nữa, nghiên cứu nhiều hơn nữa những loại sách để bổ trợ cho môn toán. Giúp bản thân ngày một vững vàng hơn về kiến thức và phương pháp giảng dạy, giúp cho học sinh yêu thích môn toán, không còn coi môn toán là môn học khô khan và khó nữa. Đồng thời không chỉ với định lí Pytago, với môn hình học 7, mà tôi cần tiếp cận với những mảng kiến thức khác của môn toán để làm sao khi giảng dạy kiến thức truyền đạt tới các em sẽ không còn cứng nhắc và áp đặt.

Khuyến nghị.

1. Trọng tâm của sáng kiến thuộc về phần II. Nội dung chính gồm 5 vấn đề cần chú trọng khi dạy định lí Pytago. Trong đó có các ví dụ, các bài tập có sự phân tích, hướng dẫn, giải kĩ lưỡng, dễ hiểu, logic, chặt chẽ. Từ đó giúp học sinh khắc phục những sai lầm thường gặp khi giải bài toán có sử dụng định lí Pytago.

2. Về cơ sở luận, giúp các em nhận thức và hiểu đầy đủ về định lí Pytago, phân biệt với định lí Pytago đảo. Ở lớp 7, định lí Pytago dùng để áp dụng vào tam giác đã biết là vuông, định lí Pytago đảo dùng để kiểm tra một tam giác với độ dài 3 cạnh cho trước có phải là một tam giác vuông hay không.

Tính khoa học xuyên suốt trong quá trình trình bày sáng kiến ở chỗ giúp cho học sinh hình thành kiến thức mới thông qua con đường : từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng áp dụng vào thực tiễn giải bài toán cụ thể.

3. Đề xuất:

Tôi trình bày đề tài trên với những kinh nghiệm hiện có chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót nhất định. Rất mong quý cấp lãnh đạo, các bạn đồng nghiệp góp ý phê bình thẳng thắn để đề tài này thành một thực tiễn giúp các em học sinh tự học, tự rèn.

Duyệt của Hội đồng Kon Tum tháng 04 năm 2013

khoa học nhà trường Người viết

Bùi Thị Bình

Định Lý Pitago Và Cách Áp Dụng Định Lý Vào Làm Bài Tập

1. Định lý pitago là gì?

Định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagoras theo tiếng Anh) là một liên hệ căn bản trong hình học Euclid giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Định lý pitago thuận phát biểu rằng bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằngtổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Định lý có thể viết thành một phương trình liên hệ độ dài của các cạnh là a, b và c, thường gọi là “công thức Pytago” (c^2=a^2+b^2) trong đó c độ dài là cạnh huyền, a,b là độ dài 2 cạnh góc vuông.

Như vậy trong bất kì 1 tam giác vuông nào thì bình phương cạnh huyền cũng sẽ bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Theo định lý cho biết, cạnh góc vuông của tam giác kí hiệu là a và b, còn cạnh huyền kí hiệu là c của tam giác vuông đó. Ta luôn có phương trình của định lý Pitago như sau:

(a^2+b^2=c^2) (với c là độ dài cạnh huyền và ab là độ dài hai cạnh góc vuông hay còn gọi là cạnh kề.)

Ở hình trên ta có 2 hình vuông lớn có diện tích bằng nhau là: (a+b)^2

Trong mỗi hình lại có 4 tam giác vuông bằng nhau có diện băng nhau là 1/2(a.b). Do đó diện tích khoảng trắng của 2 hình sẽ bằng nhau.

Như vậy, diện tích của hình vuông c sẽ bằng tổng diện tích của 2 hình vuông a và b nên ta có: (c^2=a^2+b^2)

2. Định lý pitago đảo

Định lý Pitago được sử dụng rất phổ biến cũng như gồm nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Đây là một định lý toán học quan trọng hàng đầu của hình học cơ bản.

Chứng minh định lý pitago đảo:

Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với (a^2+b^2=c^2). Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c=√(a²+b²) và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất. Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.

Chứng minh định lý đảo ở trên sử dụng chính định lý Pytago. Cũng có thể chứng minh định lý đảo mà không cần sử dụng tới định lý thuận.

  • Nếu (a^2 + b^2 = c^2), thì tam giác là tam giác vuông.
  • Nếu (a^2 + b^2 < c^2), thì nó là tam giác tù.

3. Những điều cần lưu ý khi học định lý Pitago

Khi học định lý Pitago, để nắm chắc và áp dụng tốt trong quá trình làm và giải các bài tập, bạn cần lưu ý các điều sau:

* Cạnh huyền của tam giác vuông luôn:

  • Cắt ngang qua góc vuông mà không đi qua góc vuông
  • Đây là cạnh dài nhất của tam giác vuông
  • Cạnh huyền được gọi là C trong định lý Pitago

* Khi tính, bạn cần phải kiểm tra lại kết quả.

* Nhìn vào hình, bạn sẽ biết đâu là cạnh huyền vì đó là cạnh dài nhất đối diện góc lớn nhất. Còn cạnh ngắn nhất sẽ đối diện góc nhỏ nhất của tam giác.

* Ta chỉ tính được cạnh thứ 3 khi biết độ dài 2 cạnh còn lại trong tam giác vuông

* Nếu tam giác không phải là tam giác vuông, ta không thể áp dụng định lý pitago mà sẽ tính được khi biết thêm thông tin ngoài chiều dài 2 cạnh.

* Bạn nên vẽ tam giác để dễ dàng gán giá trị chính xác cho các cạnh a, b và c. Đặc biệt, các bài toán từ và toán logic áp dụng nhiều hơn cả.

* Nếu chỉ biết số đo một cạnh, ta không thể dùng định lý pitago để tính mà sẽ phải dùng hàm lượng giác (sin, cos, tan) hoặc tỉ lệ 30-60-90 / 45-45-90.

Đây là những lưu ý quan trọng để bạn có thể sử dụng định lý một cách linh hoạt cũng như trong những điều kiện nào thì không thể áp dụng được.

4. Cách áp dụng định lý pitago

4. 1. Cách tìm các cạnh của tam giác vuông

Dựa theo định lý Pitago, ta sẽ cùng đi tìm các cạnh của tam giác vuông theo các bước sau:

Bước 1: Điều kiện tam giác đang xét phải là tam giác vuông

Định lý Pitago chỉ áp dụng được cho trường hợp tam giác vuông. Vì vậy, để tìm được các cạnh của tam giác vuông, hình tam giác đó phải có điều kiện là tam giác vuông với một góc bằng 90 độ. Bạn có thể tìm thấy dấu hiệu hình tam giác vuông trên hình vẽ rất dễ dàng.

Bước 2: Chỉ ra được các cạnh của hình tam giác vuông

Nhìn vào hình, bạn hãy chỉ ra 2 cạnh góc vuông và cạnh huyền. Cạnh luôn đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất sẽ là cạnh huyền. Hai cạnh ngắn hơn sẽ mặc định là 2 cạnh góc vuông. Ví dụ nếu tam giác ABC có cạnh góc vuông là ABC thì cạnh góc vuông là cạnh AB và BC còn cạnh huyền là AC. Theo định lý Pitago, a, b là kí hiệu của 2 cạnh góc vuông, c là kí hiệu của cạnh huyền.

Bước 3: Xác định cạnh huyền cần tìm của tam giác vuông đó

Với định lý Pitago, ta có thể tìm được độ dài bất kỳ của cạnh của một tam giác vuông nào bằng công thức trên chỉ cần biết chiều dài 2 cạnh còn lại: (a^2+b^2=c^2). Có nghĩa là bạn sẽ xác định cạnh chưa biết là a, b hay c. Nếu đã biết độ dài của 2 cạnh và 1 cạnh chưa biết của hình tam giác, bạn có thể bắt đầu.

Ví dụ: Nếu bạn đã biết cạnh huyền và một trong các cạnh bên còn lại sẽ dễ dàng tính được cạnh thứ 3 theo công thức ở trên.

Nếu có hai cạnh chưa biết độ dài, bạn cần xác định một cạnh nữa mới có thể sử dụng định lý Pitago. Bạn sẽ dùng các hàm lượng giác cơ bản để tìm độ dài của một cạnh nữa nếu biết số đo của một góc nhọn trong tam giác đó.

Bước 4: Thay giá trị độ dài 2 cạnh vào phương trình (a^2+b^2=c^2)

Trong đó, a, b là hai cạnh góc vuông, c là cạnh huyền. Nếu a = 3, c = 5 ta có (3^2 + b^2 = 5^2)

Bước 5: Tính bình phương

Giải phương trình, bạn tính bình phương mỗi cạnh đã biết. Nếu đơn giản, bạn để ở dạng số mũ rồi tính sau. Trong ví dụ này, bình phương lên ta được 9 + (b^2) = 25

Bước 6: Tách biến chưa biết sang một vế của phương trình

Bước 7: Giảm bình phương của cả hai vế phương trình

Kết quả (b^2) = 16 cho thấy một vế của phương trình còn một biến bình phương còn vế kia là một số xác định. Giảm bình phương của cả 2 vế ta sẽ được b = 4. Như vậy kết quả của bài toán là 4, chiều dài số đo của cạnh cần tìm.

Bước 8: Sử dụng định lý Pitago để tìm cạnh của tam giác vuông trong thực tế

Định lý Pitago được sử dụng rất nhiều trong thực tế. Vì vậy, bạn chỉ cần nhận biết tam giác vuông trong thực tế trong bất kỳ trường hợp nào. Áp dụng vào thực tế cuộc sống, chỉ cần 2 đường thẳng giao nhau hoặc 2 vật giao nhau tạo ra một góc vuông đồng thời có một đường thẳng hay vật thứ 3 cắt chéo qua góc vuông đã tạo ra một hình tam giác vuông. Từ đó, bạn có thể sử dụng định lý pitago tìm độ dài cạnh nào đó khi biết số đo 2 cạnh còn lại.

4. 2. Cách tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y

Khi đã biết 2 tọa độ (x,y) là (6, 1), (3, 5), ta sẽ tính khoảng cách giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y theo các bước sau:

Bước 1: Xác định 2 điểm trong mặt phẳng X-Y

Dựa vào định lý Pitago, ta dễ dàng tính được khoảng cách đường thẳng giữa 2 điểm trong mặt phẳng X-Y. Lúc này, ta chỉ cần biết tọa độ x và y của 2 điểm bất kỳ. Bình thường tọa độ x, y sẽ được viết theo cặp thứ tự là tọa độ (x,y)

Muốn tìm khoảng cách giữa 2 điểm này, ta coi mỗi điểm là một trong những góc nhọn của tam giác vuông để thực hiện tính số đo chiều dài cạnh a, cạnh b sau đó tính tiếp độ dài cạnh c là khoảng cách giữa 2 điểm.

Bước 2: Vẽ 2 điểm trên đồ thị

Tọa độ (x, y) trên mặt phẳng X-Y, trong đó x là tọa độ trên trục hoành, y là tọa độ trên trục tung. Từ đó, bạn có thể tìm khoảng cách giữa 2 điểm mà không cần vẽ đồ thị. Vẽ đồ thị ra, hình vẽ sẽ giúp ta nhìn trực quan và rõ ràng hơn rất nhiều.

Bước 3: Tìm độ dài các cạnh góc vuông của tam giác

Như vậy, hai cạnh còn lại của tam giác vuông này là a = 3, b = 4.

Bước 4: Dùng định lý pitago giải phương trình tìm cạnh huyền

Ở ví dụ ở trên, ta biết cạnh huyền là khoảng cách giữa 2 điểm của hình tam giác và tìm được 2 cạnh góc vuông còn lại ở trên. Bây giờ, chúng ta tìm cạnh huyền khi biết độ dài 2 cạnh góc vuông mà ta đặt là cạnh a và cạnh b.

Theo chúng tôi

Một Số Cách Chứng Minh Định Lí Pitago

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tá…

Cách 1: Chứng minh của E. A. Coolidge

Cách chứng minh này xuất hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm 1927. Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên 300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis.

1. Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng công cụ custom)

2. Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

3. Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm giao K của 2 đường này.

( Hình bên minh họa cho các bước từ 1 đến 3)

4. Vẽ hình vuông A’KLM.

(Sử dụng công cụ Custom tool như đã giới thiệu ở bài 1)

5. Vẽ Đoạn BK, GM, FL.

6. Làm ẩn đi đường BK.

7. Tô màu cho 4 mảnh trong hình vuông trên cạnh huyền.

8. Đánh dấu vectơ EJ và dịch chuyển 4 đỉnh và 4 cạnh của hình vuông BCDE theo vectơ này (để được hình vuông bên dưới hình vuông trên cạnh b có diện tích bằng diện tích hình vuông BCDE )

vuông trên cạnh huyền vào trong miền có diện tích a 2 + b 2 trên cạnh b.

Chú ý:

– Hãy thử thay đổi tam giác của bạn, và quan sát xem các mảnh tương ứng còn lại có bằng nhau nữa không.?

– Chú ý rằng, trong trương hợp dựng hình như thế này cạnh b cần phải luôn được giữ là cạnh bên dài hơn nếu không thì sự dựng hình như trên sẽ bị sai.

– Trường hợp đặc biệt trước khi việc dựng hình bi sai là trương hợp cạnh b dài bằng cạnh a thì hình vuông A’KLM biến mất.

Cách 2: Chứng minh của Ann Condit

Đây cũng là một cách chứng minh được giới thiệu trong cuốn sách của Elisha Scott Loomis. Ann Condit nghĩ ra cách chứng minh này vào năm 1938 khi cô mới 16 tuổi và là sinh viên của trường trung học ở miền nam Ấn Độ.

1. Dựng đoạn thẳng AB.

2. Vẽ trung điểm D của đoạn thẳng này

3. Vẽ đường tròn bán kính DA.

4. Vẽ đoạn BC và AC , với C là một điểm nằm trên đường tròn. Như vvậy ta đã dựng được tam giác vuông ABC vuông tại C.

5. Vẽ các hình vuông trên các cạnh của tam giác vuông ABC.

6. Vẽ các trung điểm L, M, N của các cạnh phía ngoài của các hình vuông.

7. Vẽ các đoạn DL, DM, DL.

8. Vẽ đoạn FG, Vẽ tia DC, và điểm P là giao điểm cuat tia DC và đoạn FG, sau đó làm ẩn đi tia DC và hiện đoạn DP.

9. Tô màu khác nhau cho diện tích các tam giác DCF, DCG, và DBK.

10. Đo diện tích các tam giác, và di chuyển điểm C quanh một nửa đường tròn trên đường kính AB.

Ta nhận thấy: tổng diện tích của 2 tam giác nhỏ luôn bằng diện tích của tam giác lớn hơn. Và tổng diện tích này không đổi khi điểm C chuyển động trên đường tròn. (xem hình bên dưới).

1. Các tam giác DCG, DCF, và DBK cóchiều dài 1 cạnh bằng nhau đó là : DC và BD( cì đều bằng bán kính đườn tròn.

2. Đoạn PF và PG theo thứ tự là đường cao của 2 tam giác DCF và DCG.

4. So sánh DCF, DCG, DBK theo thứ với diện tích của các hình vuông CFEB, CAHG, BAGK ?

5. Nếu bạn làm được những yêu cầu trên thì bạn đã chứng minh được định lý Pitago.

( Theo Tạp chí Tin học và Nhà trường)